Начать продавать
Каталог
Категории
Часто ищут
Бренды
Товары
В избранное
Об измерении величин
Цена по запросу
Купить
Описание и характеристики
Доставка и оплата
Отзывы 0
Фрагмент книги
Все
  1. Каталог товаров
  2. Досуг
  3. Книги
  4. Математика и естественные науки
  5. Математика

Об измерении величин

★★★★★
★★★★★
0 человек интересовались этим товаром
ID:
38717632
Об измерении величин 38717632
Бесплатная доставка
Наведите курсор, чтобы увеличить
О товаре
Бренд:
ЁЁ Медиа
Язык:
Русский
Обложка:
мягкая обложка
Год публикации:
2012
Все характеристики
Цена по запросу
В наличии
Доставка
Самовывоз
Мин: 1 шт.
Купить
В избранное
Продавец kpt.shop     5
Чат с продавцом
Защита покупателя
Безопасная оплата
Проверенный поставщик
20 дней на возврат
Описание и характеристики
Доставка и оплата
Отзывы 0
Фрагмент книги
Все
Характеристики
Основные:
Бренд:
ЁЁ Медиа
Язык:
Русский
Обложка:
мягкая обложка
Год публикации:
2012
Число страниц:
210
Издательство:
ЁЁ Медиа
Высота:
21
Ширина:
14.8
Толщина:
1.1
Вес:
304
Описание
Эта книга — репринт оригинального издания (издательство "Учпедгиз", 1938 год), созданный на основе электронной копии высокого разрешения, которую очистили и обработали вручную, сохранив структуру и орфографию оригинального издания. Редкие, забытые и малоизвестные книги, изданные с петровских времен до наших дней, вновь доступны в виде печатных книг.
Книга посвящена основным вопросам преподавания элементарной математики: понятиям длины, площади, объема; рассматриваются также более общие вопросы об измеримых величинах, о производной и интеграле, причем рассуждения ведутся для пространства и измерений. Педагогические соображения автора обладают свежестью и глубиной и способны оказывать значительное воспитывающее действие на педагога, которому они адресованы. Книга местами довольно трудна, что объясняется не столько сложностью материала, сколько манерой изложения автора.
Ваша покупка всегда защищена
  • Гарантированная доставка
    или возврат денег
  • Деньги переводятся продавцу
    только после получения товара
  • Возврат в течение 20-ти дней
Как работает защищённая покупка
Оплата
Оплата картой
Оплата банковской картой в момент заказа на SKYBUY
Наличными курьеру
Оплата курьеру транспортной компании при получении заказа
Мы принимаем к оплате:
Доставка
Москва
Транспортными компаниями
Силами поставщика
Пункты самовывоза
Москва
(1)
Россия, Москва, Территория инновационного центра Сколково, Нобеля, д.1
Профсоюзная ул., д. 128, к. 3
Цандера ул., д. 1, стр. 1
Мира пр-кт, д. 211, к. 1
Отрадная ул., д. 16
Академика Волгина ул., д. 8А
Александры Монаховой ул., д. 21, стр. 1
Ангарская ул., д. 26, к. 1
Молодежная ул., д. 6
Климашкина ул., д. 1
Молодежная ул., д. 70
Земляной вал ул., д. 2
Большая Марфинская ул., д. 4, к. 4
Вильнюсская ул., д. 8, к. 2
Пятницкое ш. (Митино), д. 39
Зубовский б-р, д. 17, стр. 1
Филевский б-р, д. 39
поселение Сосенское, Скандинавский б-р, д. 4, к. 2
Бартеневская ул., д. 59
Кронштадтский б-р, д. 3А
Городская ул., вл. 6
Каширское шоссе, д. 25Б
Скаковая ул., д. 17, стр. 1
Шоссейная ул., д. 1/2, стр. 4
Седова ул., д. 5, к.1
Лазо ул., д. 8
Кантемировская ул., д. 3, к. 3
Клязьминская ул., д. 9, стр. 3
Преображенская пл., д. 8
Красносельская В. ул., д. 3 А
Веневская ул., д. 6
Адмирала Ушакова б-р, д. 5
Кастанаевская ул., д. 45, к. 2
Пырьева ул., д. 20
Летчика Грицевца ул., д. 10
Вернадского пр-кт, д. 18
Комсомольский пр-кт, д. 5/2
Солдатский пер., д. 10
Маршала Жукова пр-кт, д. 48, к. 1
Коровинское шоссе, д. 26/2
Хорошевское шоссе, д. 90
Чапаевский переулок, д.12, оф. 1
Гарибальди ул., д. 23
Митинская ул., д. 40
Победы пр-кт, д. 11, к. 2
Отрадная ул., д. 16
9-я Парковая ул., д. 62
Чонгарский б-р, д. 21
Череповецкая ул., д. 4 А
Семеновская М. ул., д. 30, стр. 6
Измайловский б., д. 43, офис 220
Теплый стан ул., вл. 27, стр. 1
Профсоюзная ул., д. 12
Останкинская 1-я ул., д. 55
Вернадского пр-кт, д. 29
Театральная аллея, д. 3, стр. 1
Новая ул., д. 9
к. 435 А.
Лобненская ул., д. 4 А
Академика Опарина ул., д. 4, к. 1
Солнечная ул., д. 3
Снежная ул., д. 16, к. 6
Маршала Малиновского ул., д. 8
Волоколамское шоссе, д. 15/22
Семеновская пл., д. 7 к. 17А
Профсоюзная ул., д. 58, к. 4
Комсомольская пл., д. 6
Старопетровский пр., д. 1, стр. 2
Константинова ул., д.16
Щербаковская ул., д. 8
Звенигородское ш., д. 4
Свободы ул., д. 32
Александры Монаховой ул., д. 88, к. 1
Багратионовский пр., д. 7, к. 1
Варшавское ш., д. 26 стр.6
Железнодорожная ул., д. 44
11 мкр., к. 1104
Барклая ул., д. 16, к. 1
Локомотивный проезд, д. 4
Петровско-Разумовский проезд., д. 2
Двинцев ул., 12 к. 1 Б
Космонавтов ул., д. 12
Шарикоподшипниковская ул., д. 11, стр. 5
Комсомольский пр-кт, д. 17, к. 1
Окская ул., д. 8, к. 2
Некрасова ул., д. 10
Локомотивный проезд, д. 29
Куликовская ул., д. 6
Каховка ул., д. 19, стр. 1
Ленинградский пр-кт., д. 2
Теплый стан ул., д. 10
Днепропетровская ул., д. 2
Пролетарский пр-кт, д. 30
Адмирала Лазарева ул., д. 62
7 Кожуховская ул., д. 9
Азовская ул., д. 24, к. 3
Дмитровское ш. (Москва), д. 98
Холодильный пер., д. 3, пом. 37А
Михалковская ул., д. 20
Снежная ул., д. 16, к.1
Икеа мкр., к. 2
Снежная ул., д. 19
Обручева ул., д. 11
Маршала Жукова пр-кт, д. 74, к. 3
3 Парковая ул., д. 41А, стр. 13
2-й Кабельный проезд, д. 1, офис 4
Покрышкина ул., д. 8, к. 3
Покрышкина ул., д. 5
Сиреневый б-р, д. 7
Вернадского пр-кт, д. 39А
Просторная ул., д. 8
Вернадского пр-кт, д. 105
Фрунзенская наб., д.30, стр. 2
Профсоюзная ул., влад. 118
Дмитрия Донского б-р, д. 8, к. 1
Шоссейная ул., д. 11
Матвеевская ул., д. 20, к. 3
Туристская ул., д. 17
26 Бакинских комиссаров ул., д. 12, к. 2
Заводская ул., д. 1Б
Чертановская ул., д. 7А
Краснопрудная ул., д. 15
Митинская ул., д. 39
Кировоградская ул., д. 9 к. 1
Доброслободская ул., д. 21
Большая Серпуховская ул., д. 44
Кировоградская ул., д. 9, к. 1
Адмирала Руднева ул., д. 2
Пролетарский пр-кт, д. 14/49, к. 3
Молостовых ул., д. 1Д
Скобелевская ул., д. 1, к. 1
4-ая Магистральная ул., д. 5, стр. 1
Криворожская ул., д. 29, к. 2
Академика Миллионщикова ул., д. 13, к. 1
Центральная ул., д. 8Б
Игарский проезд, д. 11
Сиреневый б-р, д. 1, к. 5
Рудневка ул., д. 5
Русанова проезд, д. 17
Филевский б-р, д. 10
Щелковское шоссе, д. 26 Б
Кронштадский б-р, д. 47
Авиаторов ул., д. 18
Овчинниковский Б. пер., д. 16
Огородный проезд, д. 10
Чечерский проезд, д. 51
дер. Картмазово , д. 7
Ивана Сусанина ул., д. 4 к. 1
Солнечногорская ул., д. 7, к. 1
Костякова ул., д. 15
Бунинская аллея, д. 7
Донелайтиса проезд, д. 23
к. 706
Озерная ул., д. 29
Очаковское шоссе, д. 23
Расковой ул., д. 26/29
Дмитриевского ул., д. 21
Старокачаловская ул., д. 5
Люблинская ул., д. 4, к. 1А
Рязанский пр-кт, д. 28, стр. 1
Девичьего Поля проезд, д. 2
Бескудниковский б-р, д. 15, к. 1
Открытое шоссе, д. 2, к. 12
Малая Ботаническая ул., д. 24 A, стр. 1
Профсоюзная ул., д. 109 пав. 010
Сокольническая пл., д. 4 А
1 мкр., д. 22Б
Остафьевская ул., д. 4
Люблинская ул., д. 27/2
Солнечногорская ул., д. 23, стр. 1
Свободный пр-кт, д. 20 а
Федосьино ул., д. 10
Киевское шоссе, дв4, стр.2, к. А
3-я Парковая ул., вл. 24
Комсомольская пл., д. 6
Волгоградский просп., д. 32, к. 1
1-ая Вольская ул., д. 1
Открытое шоссе, д. 17, стр. 13
Рублевское шоссе, д. 91, к. 1
Таганская ул., д. 1, стр. 1
Ярцевская ул., д. 25 А
Веневская ул., д. 4
Керченская ул., д. 1Б
Мытная ул., д. 48
Литовский б., д. 22
Бабушкина Летчика ул., д. 7
Зои и Александра Космодемьянских ул., д. 11/15, стр. 1А
Москворечье ул., д. 14
Саморы Машела ул., ,д. 2А
Василисы Кожиной ул., д. 10
Михалковская ул., д. 4
Рогожский поселок ул., д. 5
Профсоюзная ул., д. 140
Зеленодольская ул., д. 30
Большая Филевская ул., д. 3
Гурьянова ул., д. 2а
Юрловский проезд, д. 13
Бачуринская ул., д. 17
Седова ул., д. 13А
Нагатинская ул, д. 13, к. 1
Селигерская ул., д. 18, к.3
Большая Филевская ул., д. 41, к. 1
Мира пр-кт, д. 11
Тепличная ул., д. 7Б
Вильнюсская ул., д. 1
50 лет Октября ул., д. 11
Главмосстроя ул., д. 5
Олимпийская деревня ул., д.4, к. 2, офис 21
Якорная ул., д. 7
к.617А
Николо Хованская ул.. д. 28
Пятницкое шоссе, д. 14
Зеленая горка ул., д. 1А
Зеленодольская ул., д. 10/14
Лихоборские Бугры ул., д. 6
Свободный пр-кт, д. 21/2, стр. 1
Энтузиастов шоссе, д. 80, к. 1
Верещагина пл., д. 1
к. 1109
Нововатутинский пр-кт, д. 10
Летчика Ульянина ул., д. 5
Мастеркова ул., д. 6
Алтуфьевское шоссе, д. 24, к. 1
Миклухо-Маклая ул., д. 18, к. 3
Чертановская ул., д. 32, стр. 1
Маршала Рокоссовского б-р, д. 31
Кржижановского ул., д. 27
Красная Пресня ул., д. 23, стр. 1А
Острякова ул., д. 5
Николо-Хованская ул., д. 28, стр. 5
Соболевский проезд, д. 22, стр. 1
7 Парковая ул., д. 15, к. 2
Тараса Шевченко наб., д. 23 А
Рязанский пр-кт., д. 2, к. 2
Открытое ш., д. 9
Новоясеневский пр-кт, д. 1
Тульская Б. ул., д. 13
Головинское шоссе, д. 5, к.1
Адмирала Лазарева ул., д. 2
Театральный проезд, д. 5, стр 1
Сходненская ул., д. 25
Народная ул., д. 4
1 Квесисская ул., д. 18
Лучников пер., д. 4, стр. 2, офис 16
Декабристов ул., 15Б
Профсоюзная ул., д. 102
Инициативная ул., д. 11
Поляны ул., д. 8
Волгоградский пр-кт, д. 42, к. 23
Коломенская ул., д. 23, к. 2
Учинская ул., д. 1
Дмитровское шоссе, д. 122Г, к.1, подъезд 6
Золоторожский Вал ул., д. 42
Ломоносовский пр-кт, д. 23
Яблочкова ул., д. 21А
Старокачаловская ул., д. 1Б
Сущевский Вал ул., д. 46
Дмитровское шоссе, д. 107А
Рабочий поселок Киевский, д. 18 Б
Миклухо-Маклая ул., д. 36А
Профсоюзная ул., д. 126, к. 3
Ухтомского Ополчения ул., д. 1
Академика Анохина ул., д. 2, к. 1 Б
Маршала Жукова пр-кт, д. 27
Перовская ул., д. 61 А
Маршала Жукова пр-кт, д. 1, стр. 1
Дмитровское шоссе, д. 74
Митинская ул., д. 36
Дмитрия Донского б-р, д. 1
Золоторожский Вал ул., д. 38, стр. 1
Профсоюзная ул., д. 3, офис 117
Маросейка ул., д. 8
Старокачаловская ул., д. 5А
Чонгарский б-р, д. 10, к. 1
Тимирязевская ул., д. 11, к. 1
Бутлерова ул., д. 24
Псковская ул., д.5
Дегунинская ул., д. 10, стр. 2
Вавилова ул., д. 66
Шолохова ул., д. 18
Ангарская ул., д. 17
Южнобутовская ул., д. 81
Днепропетровская ул., д. 3, к. 1
Профсоюзная ул., д. 109, пав. 255
8 Марта ул., д. 9
Семеновская Б. ул., д. 16
Малый Конюшковский пер., д. 2
к. 1215
Куликовская ул., д. 9
Тишинская пл., д. 1
Маршала Бирюзова ул., д. 32
Профсоюзная ул., д. 104
Профсоюзная ул., д. 19
Рождественка ул., д. 6/9/20
Рудневка ул.(Кожухово), д. 19
Адмирала Макарова ул., д. 6, стр. 13
Барклая ул., вл. 10
1-й Микрорайон, д. 36А
3-я Гражданская ул., д. 17
Стасовой ул., д.10А
Южнобутовская ул., д. 58
Академика Анохина ул., д. 6, к. 1
Ивовая ул., д. 6, стр. 2
Оружейный пер., д. 41
Тимирязевская ул., д. 2/3
Рязанский пр-кт, д. 12
9-я Северная Линия ул., д. 3А
Русаковская ул., д. 28 с.1Б
Ленинский пр-кт, д. 101
Ленинский пр-кт, д. 148
Алтуфьевское шоссе, д. 8
Академическая пл., д. 3
Яблочкова ул., д. 21 А
1 Карачаровская ул., д. 8, стр. 1
Полтавская ул., д. 35
Бескудниковский б-р, д. 6, к. 4
Льва Толстого ул., д. 16
Балаклавский пр-кт, д. 48, к. 1
Шолохова ул., д. 4
Льва Толстого ул., д. 23, к. 1
Нагатинская ул., д. 16
Краснобогатырская ул., д. 9
Свободы ул., д. 29
Раменки ул., д. 16
Дмитриевского ул., д. 10
Малая Сухаревская пл., д. 12
Маршала Тухачевского ул., д. 55
Клязьминская ул., д. 9 к. 2
Южнобутовская ул., д. 117
Расковой ул., д. 14
Кантемировская ул., д. 5, к. 5
Криворожская ул., д. 1
Солнечная ул., д. 3А, стр. 1
поселение Мосрентген, д. 31
Волжский б-р, д. 7
Новоясеневский пр-кт, д. 2А, стр. 1
Сущевский Вал ул., д. 5/20, пав. Т-1
Балаклавский пр-кт, д. 5
Юности ул., д. 9
Мира пр-кт, д. 92, стр. 1
Городская ул., д. 24
Большая Октябрьская ул., д. 9
Дмитровское шоссе, д. 73, стр. 1
Мичуринский пр-кт, д. 21, стр. 6
Пятницкий пер., д. 2
Ленинградское шоссе, д. 25
Хабарова ул., д. 2
Новостроевская ул., д. 6
Кантемировская ул., д. 18, к. 5, стр. 2
Вернадского пр-кт, д. 51, стр. 1
Шаболовка ул., д. 10, к.1
Туристская ул., д. 13, к. 2
Маленковская ул., д. 30
Лобачевского ул., д.98, к.1
Свободный пр-кт, д. 33
Завода Серп и Молот проезд, д.10
Рублевское шоссе, д. 52А
Пролетарский пр-т, д. 20, к. 2
3-й Павелецкий проед, д. 4
Абрамцевская ул., д. 9
Дмитровское ш. (Москва), д. 89
Новорязанская ул., д. 26, стр. 1
Алабяна ул., д. 10, к. 1
Кожевническая ул., д. 7, стр. 1
Озерная ул., д. 42
Автозаводская ул., д. 23, с. 931, к. 2
Солнцевский пр-кт, д. 5
Лухмановская ул., д. 6
Профсоюзная ул., д. 64/66
Измайловский б., 43
Зои и Александра Космодемьянских ул., д. 4, к. 1
Гурьянова ул., д. 55А
1 мкр., д. 35
2-й Донской проезд, д. 10
Зеленый пр-кт, д. 3А, стр. 1
Богданова ул., д. 10
Трофимова ул., д. 36, к.1
Святоозерская ул., д. 2
Солнечная аллея, к. 900
Производственная ул., д. 12, к. 2
9-я Парковая ул., д. 59, к. 3
Новокузнецкая ул., д. 13, стр. 1
Новикова-Прибоя наб., д. 6, к. 4
Ратная ул., д. 8А
2-я Владимирская ул., д. 19
Варшавское шоссе, д. 39, офис 421
Нагатинская ул., д. 34
Никитинская ул., д. 17, к. 1
Вильнюсская ул., д. 5
Архитектора Власова ул., д. 43
Амундсена ул., д. 1, к. 1
Кронштадтский б-р, д. 30Б
Пятницкое шоссе, д. 29
Ангарская ул., д. 67
Балаклавский пр-кт, д. 16А
Краснопрудная ул., д. 13
Хромова ул., д. 7/1, к.1
Чонгарский б-р, л. 16, к. 1
Мира пр-кт, д. 188Б, к. 2
Веерная ул., д. 22, к. 2
Профсоюзная ул., д. 118, к. 1
50 лет Октября ул., д. 7
Адмирала Ушакова б-р, д. 11
Якушкина проезд, д. 10
Маршала Жукова пр-кт, д. 27
Кронштадский б-р, д. 15, к. 1
Радужная ул., д. 16, стр. 2
Киевское шоссе, 22-й км, д. 6, стр. 1
к. 607
Мичуринский просп., вл. 27
Азовская ул., д. 25, к. 1
1-я Аэропортовская ул., д. 6
Берзарина ул., д. 23, к. 2
Шоссейная ул., д. 33
Судостроительная ул., д. 39
Профсоюзная ул., д. 98, к. 1
СНТ Зеленая Зона, д. 97
мкр. В, д. 42
Боровское шоссе, д. 6
Андропова пр-кт, д. 22
Минская ул., д. 14А
Милашенкова ул., д. 8
Большая Дорогомиловская ул., д. 8
Северное Чертаново мкр., 1А, к. 1
Столярный пер., д. 3, к. 6
Рождественская ул., д. 31
Васильевская ул., д. 7
Бауманская ул., д. 58
Просторная ул., д. 11
Боровское шоссе, 28-й км, вл. 2, стр. 1
Софьи Ковалевской ул., д. 1
Новочеремушкинская ул., д. 58
Бескудниковский б-р, д. 40, к. 1
Семеновская пл., д. 7
Гончарова ул., д. 15
Литовский б-р, д. 48
Знаменские садки ул., д. 5
Нагатинский б-р, д. 6А
Егерская ул., д. 1
Зеленый пр-кт, д. 24, офис 33
Нагорный б-р, д. 4, к. 1
Микрорайон В ул., д. 57
Магнитогорская ул., д. 2
Касаткина ул., д. 8
Академика Варги ул., д. 36
Старобитцевская ул.,д. 15, к. 3
Дзержинского ул., д. 2А
Асеева ул., д. 3
2-я Синичкина ул., д. 9А, стр. 3
Родники ул., д. 8
Солнцевский пр-кт, д. 5
Открытое шоссе, вл. 9
Александры Монаховой ул., д.94, к.2
Академика Королева ул., д. 13 стр. 1
Кантемировская ул., д. 17, к. 1
Паустовского ул., д. 6, корп. 1
Варшавское ш., д. 97
Болотниковская ул., д. 11, к.1
Профсоюзная ул., д. 118
Генерала Тюленева ул., д. 25, к.1
Маршала Бирюзова ул., д. 32
Рудневка ул., д. 19
Волгоградский пр-кт, д. 1, стр.1
2-й Стрелецкий проезд, д. 10
Дмитровское ш, д. 45, к. 2
Русаковская ул., д. 28
Новотушинский проезд, д. 8, к. 1
Дмитрия Донского б-р, д. 9, к. 1
Академика Анохина ул., д. 26, к. 5
Новочеремушкинская ул., д. 10, стр. 1
Красноказарменная ул., д. 23
Александры Монаховой ул., д. 88, к. 1
Профсоюзная ул., д. 102А
Сиреневый б-р, д. 7
Федора Полетаева ул., д. 11, вл. 1
Чонгарский б-р, д. 7
Раменки ул., д. 3
Красная Пресня ул., д. 28, стр. 2
Снежная ул., д. 27
д. Яковлевское,вл. 122, стр. 1
Соболевский проезд, д. 22, стр. 1
Боровая ул., д. 16
6-я Кожуховская ул., д. 15
д. 18Б
Ивана Сусанина ул., д. 4, к. 1
Рабочая ул., д. 13
Пролетарский пр-кт, д. 14/49, к. 3
Нагатинский б-р, д. 6А
Адмирала Лазарева ул., д. 24
Зеленый пр-кт, д. 83, стр. 2
Старо-Петровско-Разумовский проезд, д. 1/23, стр. 2
Кржижановского ул., д. 31, стр. 3
Ленинский пр-кт, д. 54
Озерная ул., д. 35
Андропова пр-кт, д. 36
Вернадского пр-кт, д. 86 Б
Василия Петушкова ул., д. 11
Авиаконструктора Сухого ул., д. 2, к. 1
Пятницкое шоссе, д. 3
Чертаново Северное мкр, д. 1а, к. 1
Школьная ул., д. 1А
Огородный проезд ,д. 10
Шверника ул., д. 8/1, к. 1
Севанская ул., д. 15, к.1
Симферопольское шоссе, д. 5Д
Производственная ул., д. 12, к. 2
Летниковская ул., д. 10, стр. 2
Снежная ул., д. 25
Милашенкова ул., д. 4, стр. 7
Теплый стан ул., д. 10
Бутырская ул., д. 97
Пролетарский пр-кт, д. 23
Авиамоторная ул., д. 41Б
Васильцовский стан ул., д. 10, к. 1
Рязановское шоссе, д. 13
Базовая ул., д. 2
к. 406
Первомайская ул., д. 121
Рязанский пр-кт, д. 32, к. 3
1-й Стрелецкий проезд, д. 3Б
Южнобутовская ул., д. 97
Комсомольская пл., д. 2
Бескудниковский б-р, д. 12
Радужная ул., д. 2
Боровское шоссе, д. 27, пав. 26
Митинская ул., д. 39
Измайловское шоссе, д. 69Д
Академика Понтрягина ул., д. 21
Рублевское шоссе, д.52А
Дубравная ул., д. 34/29
Ленинградское шоссе, д. 52
60-летия Октября пр-кт, д. 12
Летчика Ульянина ул., д. 4
Академика Бакулева ул., д. 10
Ивантеевская ул., д. 25А
Звездный б-р, д. 40
Нижегородская ул., д. 32, стр. А
Южный квартал ул., д. 7
Чонгарский б-р, д. 6
Краснобогатырская ул., д. 79
Дмитрия Ульянова ул., д. 1
Хорошевское шоссе, д. 48
Грина ул., д. 10
к. 514, стр. 3
Варшавское ш., д. 87Б
Народного ополчения ул., д. 21 к. 1
2 Вольская ул., д.22 к.1
Митинская ул., д. 25
3-я Парковая ул., д. 4
Кировоградская ул., д. 9, к. 4
Красная сосна ул., д. 2А 
Рождественская ул., д. 33
Осенний б., д. 12
Юных Ленинцев пр-кт, д. 70, стр. 1
к. 403
Знаменские садки ул., д. 5Б
Большая Пионерская ул., д. 4
Поселение Внуковское, Андрея Тарковского б-р., д. 1
Кавказкий б-р, д. 41, к. 1
Шаболовка ул., д. 34 стр. 2
З. А. Космодемьянских ул., д. 4, к. 1 В
Новослободская ул., д. 3
Ленинградский пр-кт, д. 62
Бауманская ул., д. 32
Уральская ул., д. 1А
Линии Октябрьской железной дороги ул., д. 2, стр. 2
Тимура Фрунзе ул., д. 11, стр. 13
Клязьминская ул., д. 32
Дубнинская ул., д.15, к.1
Профсоюзная ул., д. 4А
Митинская ул., д. 51
Киевское шоссе, 23 км, д. 1
Университетский пркт, д. 23, к. 1
Малая Пироговская ул., д. 8
Ясногорская ул., д. 7А
Изюмская ул., д. 39, стр. 1
Абрамцевская ул., д. 9, к. 1
Мастеркова ул., д. 8
Вернадского пр-кт, д. 41
Москворечье ул., д. 31, к. 2
Красного Маяка ул., д. 16А
Тульская Б. ул., д. 2
Береговой проезд, д. 5А, к. 6
Комсомольский пр-кт, д. 30
Щелковское шоссе, д. 9
Открытое ш., д. 5А
Бориса Галушкина ул., д. 14, к. 1
Чертаново Северное ул., д. 4, к. 408А
Федосьино ул., д. 12
Василисы Кожиной ул., д. 1
Обручева ул., д. 45
Варшавское шоссе, д. 7, к. 1
3-й Павелецкий проезд, д. 7, к. 4
Шаболовка ул., д. 59
2-й Хорошевский пр-зд., д. 7, стр. 50
Дмитровское шоссе, д. 165Е, к. 5
Дежнева проезд, д. 23
Большая Марфинская ул., д. 4, к. 3
Покровская ул., д. 20
Малая Юшуньская ул., д. 3
Авиамоторная ул., д. 22/12
Зворыкина ул., д. 1, к. 1
Поварская ул., д. 8/1, к. 1
Ткацкая ул., д. 49
Мичуринский пр-кт, (Олимпийская деревня), д. 3, к. 1
Академика Комарова ул., д. 9
Электродная ул., д. 2, стр. 32
Симферопольский бульвар, д. 11
3-я Владимирская ул., д. 24
Ленинградский пр-кт, д. 13, стр. 1А
Каргопольская ул., д. 11, к. 1
Пятницкое шоссе, д. 8
Щербаковская ул., д. 53, к. 1
Гагарина пр-кт, д. 13
Декабристов ул., д. 27 пом. 511
Татьянин Парк ул., д. 17, к. 1
Каховка ул., д. 14, к. 3
Маршала Жукова пр-кт, д. 4
Шверника ул., д. 13, к. 1
Маршала Рокосcовского б-р, д. 30
Главмосстроя ул., д. 18
Тимирязевская ул., д. 2/3
Академическая пл., д.5
Буденного пр-кт, д.53, стр. 2
Зеленый пр-кт, д. 79А
Красного маяка ул., д. 10
Наташи Ковшовой ул., д. 8А
Новоясеневский пр-кт, д. 9
Молостовых ул., д. 3, к. А
Олимпийский пр-кт, д. 26, стр. 1
Федеративный пр-кт, д. 15, к. 1
Велозаводская ул., д. 13 стр. 1
Красного Маяка ул., д. 15А, стр. 1
Коломенская ул., д. 17
Академика Королева ул., д. 3
Челябинская ул., д. 15
Лукинская ул., д. 8
2 Владимирская ул., д. 52, к. 2
Балтийская ул., д. 4
Перовская ул., д. 66, к.1
Удальцова ул., д. 89, к. 3
Рублевское шоссе, д. 16, к. 3
9 Парковая ул., вл.61 А, стр.1
Новогиреевская ул., д. 54
Маршала Рокоссовского б-р, д. 39/22
Куликовская ул., д. 9
Знаменские садки ул., д. 7А, стр. 1
Маршала Бирюзова ул., д. 14
Трофимова ул., д. 4
Лобненская ул., д. 5
800-летия Москвы ул., д. 11, к. 6
Звенигородское шоссе, д. 4, пав. А-11
Тверской б-р, д. 20, стр. 4
Фридриха Энгельса ул., д. 23, стр. 4
Новодмитровская Б. ул., д. 36/9
Яна Райниса б-р, д. 14, к. 1
Мастеркова ул., д. 6
Ярославская ул., д. 21
Тверская ул., д. 9
Дмитрия Донского б-р, д. 16
Центральный пр-кт, к. 438
микрорайон Северное Чертаново, к. 208
Андропова пр-кт., д. 38
Пролетарский пр-кт, д. 25
Крылатская ул., д. 33, к. 3
Часовая ул., д. 13
Затонная ул., д. 11, к. 2А
Ленинградское шоссе, д. 8, к. 2
Ходынский б-р, д. 4
3 Институтская ул., д. 12
Матвеевская ул., д. 2
Вернадского пр-кт, д. 105
Рязанский пр-кт, д. 24, к. 2
Бакунинская ул., д. 69, стр. 1
Смольная ул., д. 7
Хачатуряна ул., д. 7
Кастанаевская ул, д. 42, к. 2
Боровское шоссе, д. 36
Профсоюзная ул., д. 56
5-я Кожуховская ул., д. 10
Кантемировская ул., д. 6, к. 1
Шоссейная ул.,д. 29 к. 1
Колодезный переулок д.3
Просторная ул., д. 9
Дмитровское шоссе, д. 50, к. 1
Бульвар Дмитрия Донского, д. 15
Гурьянова ул., д. 73
Генерала Тюленева ул., д. 41А
Генерала Глаголева ул., д. 25, к. 1
Поляны ул., д. 57
Красного маяка ул., д. 16Б
Большие Каменщики ул., д. 21/8
Измайловский проезд, д. 7, к. 2
Резервный проезд, д. 11
Борисовская ул., д. 1
Дмитрия Ульянова ул., д. 43, к. 1
Чечерский проезд, д. 128
2-я Карачаровская ул., д. 1, стр. 1
Боровское ш., д. 43 к. 1
Родниковая ул., д. 2
Пятницкое ш, д. 27, к. 1
Внуковская Большая ул., д. 17
Коломенский проезд, д. 10
Приорова ул., д. 22
Нагатинская наб., д. 64, к. 2
Космонавта Волкова ул., д. 6А
Космодамианская наб., д. 52, стр. 5
Волочаевская ул.,д.12А, стр. 1
Дубнинская ул., д. 50
Первомайская ул., д. 42
Маршала Савицкого ул.,д. 4, к. 1
Щербаковская ул., д. 7
Саянская ул., д. 10 А
Шолохова ул., д. 19А
Яблочкова ул., д. 19-21
Тверская ул., д. 9, стр. 7, офис 12
Открытое шоссе, д. 21, к. 4
Московская ул., д. 3А
Барышевская Роща ул., д. 22, к. 1
Вертолетчиков ул., д. 9, к. 1
Авиамоторная ул., д 23
800 летия Москвы ул., д. 22, к.1
Перовская ул., д. 31
Шверника ул., д. 13, к. 1
Цюрупы ул., д. 28
Мира пр-кт, д. 102, к. 2
Октябрьский пр-кт, д. 17Б
Бескудниковский б., д. 3
Нагатинская ул., д. 15 к. 1
Сосновая ул., 6
Шмитовский проезд, д.16, стр. 2
Дмитровское ш., д. 45, к. 2
Гончарова ул., д. 15
Дубравная ул., д. 34, стр. 29
Профсоюзная ул., д. 142, к. 1
Александры Монаховой ул., д. 99
Болотниковская ул., д. 36, к. 2
Волгоградский просп., д. 1 стр. 1
Академика Пилюгина ул., д. 26Б
Болотниковская ул., д. 52, к. 1
Лихоборские Бугры ул., д. 4, к. 1
Мельникова пр-кт, д. 37
Севастопольский пр-кт, д. 11 Е
Яблочкова ул., д. 37
Москворечье ул., д. 45, к. 1
Остафьевская ул., д. 4
3-й мкр., д. 12А
Богородский Вал ул., д. 6, к. 2
Минская ул., д. 13, к. 2
Шарикоподшипниковская ул., д. 11, стр. 7
Боровское шоссе, д. 51, стр. 1
Красная Пресня ул., д. 4
Таганская ул., д. 2
Большая Полянка ул.,д. 28, к. 1
Бутырская ул., д. 6
Большая Серпуховская ул.,д. 6/5
Череповецкая ул., д. 12
Профсоюзная ул., д. 61А
Трофимова ул., д. 35/20
Краснопрудная ул., д. 26
Некрасова ул., д. 12
Филевская М. ул., д. 13
Кусковская ул., д. 20А
Башиловская ул., д. 12
Будайская ул., д. 13
Большая Ордынка ул., д. 19, стр. 1
Кадырова ул., д. 1
Тверская ул., 25/9
Ленинградский пр-кт, д. 62А
Петровско-Разумовский проезд, д.24, к. 19
Пырьева ул., д. 16
Волжский б-р, 95 квартал, к. 7
Барклая ул., д. 12
Ленинградский просп., д. 76А
Бестужевых ул., д. 14 к.1
Мельникова ул., д. 3, к. 3
Звездный б-р, д. 21, стр. 1
Измайловский б-р., д. 38
Большая Переяславская ул., д. 10
Волжский Бульвар квартал, д. 114А, к. 1
Клязьминская ул., д. 15
Бестужевых ул., вл. 11А
Пятницкое шоссе, д. 3
Болотниковская ул., д. 30
Дмитрия Донского б-р, д. 16
Арсюкова ул., д. 5А
Балаклавский пр-кт, д.5А
Новокузнецкая ул., д. 42, стр. 5
Коптевская ул., д. 24
Авиаторов проезд, д. 2А
Адмирала Ушакова б-р, д. 1, стр. 1
Мартеновская ул., д. 16/36
Флотская ул., д. 31
2 Брестская ул., д. 37, к. 1
Пржевальского ул., д. 2
Корпус 904
Большая Семеновская ул., д. 28
Фруктовая ул., д. 8, к. 3
Маршала Жукова пр-кт, д. 53, к. 1
Челябинская ул., д. 15
Олеко Дундича ул., д. 5
Байкальская ул., д. 12
Сокольническая пл., д. 4
9-ая Чоботовская аллея, д. 1 стр.1
Большая Тульская ул., д. 2
Ярославская ул., д. 8 к. 3, офис №2
Грайвороновская ул., д. 12, к. 1
Грайвороновский 2-й пр-д, д. 42, стр. 5
Новый Арбат ул., д. 15
Свободы ул., д. 23
Судостроительная ул.,д. 59
Митинская ул., д. 17
Погонный пр., д.1, к. 11
Мичуринский пр-кт, д. 21, к.6
Сущевский Вал ул., д. 46
Хачатуряна ул., д. 7
Солнечная ул., д. 3А, стр. 1
Бакунинская ул., д. 69
2-я Филевская ул., д. 6
Кадырова ул., д. 1
Сущевский Вал ул., д. 5, стр. 1
Миклухо-Маклая ул., д. 18, к. 3
Симферопольское шоссе, д. 7
Комсомольский пр-кт, д. 18/1
Онежская ул., д. 34, к. 2
1-й Очаковский пер., д. 10
60-летия Октября пр-кт, д. 25
Черняховского ул., д. 17А
Митинская ул., д. 57
Вавилова ул., д. 3
5-я Парковая ул., д. 52
Федеративный пр-кт, д. 3
Маршала Бирюзова ул., д. 19
Беговая аллея, д. 7Б
2-ая Филевская ул., д. 14
Академика Челомея ул., д. 3, к. 2
Андропова пр-кт, д. 36
Коломенская ул., д. 7
Новочеремушкинская ул., д. 26, к. 1
Рязанский пр-кт, д. 14, к. 2
Декабристов ул., д. 10, к. 2
Заповедная ул., д. 16, к. 1
Никулинская ул., д.15, к. 1
Вернадского пр-кт, д. 15
Судостроительная ул., д. 1
Рокотова ул., д. 5
Буденного пр-кт, д. 18Б
Германа Титова ул., д. 4
1-й мкр., д. 5Ж
5-я Кожуховская ул., д. 18, к. 1
Судостроительная ул., д. 42А
Дмитрия Ульянова ул., д. 18, к. 1
Солнцевский пр-т., д. 11
Москвитина ул., д. 9, к. 2
Головинское ш., д. 5, к. 1
Черкизовская Б. ул., д. 3, к.1
Назад к списку
Адрес:
Режим работы:
Выберите пункт самовывоза на карте
Пока еще нет отзывов.
Добавить отзыв о товаре

ББК 22.1 Л33 Лебег Анри Леон Л33 Об измерении величин / Лебег Анри Леон - М.: Книга по Требованию, 2018. — 210 с.


Книга посвящена основным вопросам преподавания элементарной матема- тики: понятиям длины, площади, объема; рассматриваются также более общие вопросы об измеримых величинах, о производной и интеграле, причем рас- суждения ведутся для пространства и измерений. Педагогические соображе- ния автора обладают свежестью и глубиной и способны оказывать значитель- ное воспитывающее действие на педагога, которому они адресованы. Книга местами довольно трудна, что объясняется не столько сложностью материала, сколько манерой изложения автора.


© Издание на русском языке, оцифровка, «Книга по Требованию», 2018 Эта книга является репринтом оригинала, который мы создали специально для Вас, используя запатентованные технологии производства репринтных книг и печати по требованию.


Сначала мы отсканировали каждую страницу оригинала этой редкой книги на профессиональном оборудовании. Затем с помощью специально разрабо- танных программ мы произвели очистку изображения от пятен, клякс, пере- гибов и попытались отбелить и выровнять каждую страницу книги. К сожа- лению, некоторые страницы нельзя вернуть в изначальное состояние, и если их было трудно читать в оригинале, то даже при цифровой реставрации их невозможно улучшить.


Разумеется, автоматизированная программная обработка репринтных книг — не самое лучшее решение для восстановления текста в его первозданном виде, однако, наша цель — вернуть читателю точную копию книги, которой может быть несколько веков.


Поэтому мы предупреждаем о возможных погрешностях восстановленного репринтного издания. В издании могут отсутствовать одна или несколько страниц текста, могут встретиться невыводимые пятна и кляксы, надписи на полях или подчеркивания в тексте, нечитаемые фрагменты текста или за- гибы страниц. Покупать или не покупать подобные издания — решать Вам, мы же делаем все возможное, чтобы редкие и ценные книги, еще недавно утра- ченные и несправедливо забытые, вновь стали доступными для всех читате- лей.


угу. запл12Чау.га/гериие осмысленна лишь в том случае, если все четыре яблока одинаковой величины. „Одно яблоко“ выступает здесь неизбежно как единица меры объема или веса. Считать можно самые разнородные предметы: два че- модана и арбуз могут составлять три предмета, взятые с собой в дорогу; но два чемодана и поларбуза не составляют 21/ предмета,— употре- бление дробных чисел предполагает однородность как самих предметов так и их частей, т. е. по существу всегда связано с измерением величи ‹.


В полном соответствии со сказанным выше находится то обстоятель - ство, что натуральные числа и после создания более широкой концепции действительного числа сохраняют всю свою самостоятельность. Им посвящена обширная наука — теория чисел — со своими своеобразными проблемами. Рациональные же числа, оставаясь важным частным случаем действительных чисел, не лали повода к образованию отдельной ветви математики, которая изучала бы их самих по себе !). Лишь вопросы при- ближения иррациональных чисел при помощи рациональных до настоя- щего времени представляют собой живую’ область математических исследований.


1) В другом, чисто алгебраическом ряду развития, о котором будет сказано далее, система рациональных чисел является лишь частным случаем общего понятия алгебраического тела и включается в более обширное тело алгебраических чисел.


2) Ван-дер-Варден, Сэвременная алгебра, т. 1, 8 12. а создание над рациональными числами алгебраически замкнутого зе- ла, т. е. введение алгебраических чисел. С точки зрения чистой ал- гебры нет никаких оснований считать число ]/ -+-2 более простым, чем число 1/ — 2, а число п вообще излишне.


В действительности, конечно, никто и не пытается излагать в шко- ле идеи современной абстрактной алгебры. Но часто учащимся сооб- шают ошибочное утверждение, что подлинно научное построение рацио- нальных чисел не должно иметь ничего общего с измерением величин. Часто говорят, что правила действий над дробями есть лишь „удобные соглашения“, сохраняющие неизменными законы действий.


Одной из основных задач книги Лебега является показать, что подход к построению рациональных и действительных чисел с точки зрения измерения величин нисколько не менее научен, чем, например, введение рациональных чисел в виде „пар“. Для школы же он имеет несомненные преимущества. Первым преимуществом является соответ- ствие этого подхода историческому развитию математики и имеюще- муся у учащихся повседневному опыту. Вторым же — то обстоятель- ство, Что он приводит с необходимостью к введению действительных чисел. Действительные числа появляются при этом в гораздо более осязаемой форме десятичных дробей, чем „дедекиндовские сечения“ 1) в системе рациональных чисел (которые сами суть не что иное, как „пары“ целых чисел).


Поэтому вполне прав Лебег, когда он, в предлагаемых теперь рус- скому читателю очерках, после натуральных чисел переходит сразу к происхождению и логической природе действительных чисел. Прав он и тогда, когда утверждает, что с педагогической стороны, для шко- лы, существует одна нераздельная задача — привести к возможно более ясному пониманию концепции действительного числа ?). Мне хочется особенно подчеркнуть здесь важность этой общей установки, так как в изложении самого Лебега она связана с по меньшей мере спорным, а вернее просто неприемлемым, предложением совсем изгнать из шко- лы изучение простых дробей.


1) С общей точки зрения введения непрерывности в любых поряд- ковых типах дедекиндовские сечения имеют неоспоримое преимуще- ство. Но даже в курсе анализа в университетах обращение к опреде- лению действительного числа бесконечной десятичной дробью кажет- ся наиболее целесообразным. Оно позволяет с очень небольшой затрз- гой труда внести в изложение анализа полную ясность, не откладывая „строгое обоснование теории действительных чисел“ до каких-то до- полнительных курсов, как это у нас часто делают.


2) Введение комплексных чисел в последнем классе средней школы осуществляется уже без большого труда, если с действительными числами достигнута достаточная ясность.


5 ной математической теорией, стыдиться ее происхождения. По сравне- нию с кристаллической ясностью развития теории, начиная с уже го- товых ее основных понятий и допущений, кажется грязным и неприят- ным занятием копаться в происхождении этих основных понятий и допущений. Все здание школьной алгебры и весь математический ана- лиз!) могут быть воздвигнуты на понятии действительного числа без всякого упоминания об измерении конкретных величин (длин, площа- дей, промежутков времени и т. д.). Поэтому, на разных ступенях обу- чения с разной степенью смелости, неизменно проявляется одна и та- же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел, и дальше уже говорить только о числах и соотношениях между ними. Против этой тенденции и протестует Лебег.


Что общепринятая система с педагогической сторэны дефектна-— видно хотя бы из тех трудностей, которые затем возникают при усвое- нии учащимися независимости смысла геометрических и физических формул от выбора единиц измерения и понятия „размерности“ гео- метрических и физических формул.


Дело, однако, не в отдельных дефектах, а в том, что отрыв в школь- ном преподавании математических понятий от их происхождения при- водит к полной беспринципности и логической дефектнссти курса. Лебег вполне прав, когда утверждает, что, например, старые учебни- ки, считавшие понятие площади чем-то ясным и само собой разумею- щимся, стояли выше, чем некоторые современные, которые предлагают „условиться“ называть площадью круга такой-то предел. Создание на почве выкристаллизовавшихся из практики понятий формальных опре- делений на своем’ месте имеет смысл, но только тогда, когда это будут общие определения общих понятий. Имеет смысл дать формальное определение площади вообще, вывести из этого определения общие свойства площадей и доказать, что в применении к кругу общее опре- деление дает определенный результат. Но совершенно бессмысленно „уславливаться,“ что Понимать под площадью отдельных фигур, так как из таких „соглашений“, естественно, ничего нельзя вывести.


1) „Алгебра“, преподающаяся в средней школе, с ее приближенным извлечением корней, логарифмами и т. д., едва ли не в большей сте- пени является первой главой анализа (или введения в анализ), чем, собственно, чистой алгебры. Если современным алгебраистам удается убедить всех в необходимости понимать слово „алгебра“. в угодном им и логически вполне обоснованном, но совершенно не соответствую- щем школьной традиции, смысле, то придется поднять вопрос о пере- именовании того предмета, который сейчас преподается в средней школе под названием алгебры.


6 открытий Лебег старается показать, как тесно они связаны с анализом реальных процессов измерения. Таким образом, в центре внимания на протяжении всей книги Лебега стоит борьба за возвращение математи- ческим понятиям их первоначального материального содержания. В этой борьбе я и вижу основной интерес книги Лебега.


Точка зрения Лебега на измерение величин, на целые и действи- тельные числа и его трактовка упомянутого выше вопроса о размер- ности величин станут достаточно ясными читателю, прочитавшему главы 1, |, Ш, 1У и\У!|. Менее подготовленному читателю можно посове- товать прочесть именно эти главы (пропустив \) и затем (пропустив УП) сразу заключение (У).


С другой стороны, можно представить себе читателя (более подго- товленного), которого заинтересуют по преимуществу главы У, УГ и УП (глава УТ входит, таким образом, в обе группы). Здесь та же основная тенденция, —выяснение реального происхождения математических поня- тий, — проведена на материале понятий длины кривой, площади поверх- ности и интеграла, принадлежащих в своем полном объеме диферен- циальной геометрии и анализу.


7= |] Уз+иче ах. 4.


Обычные „доказательства“ того, что этот интеграл действительно выражает площадь поверхности, не выдерживают критики по той про- стой причине, что нельзя доказать равенство интеграла площади по- верхности, не определив сначала, что такое площадь. Это обстоятель- ство является уже подлинным скандалом для общепринятого изложе- ния диференциальной геометрии. Надо надеяться, что книга Лебега окажет влияние на содержание соответствующих глав университетских учебников.


Было бы ошибкой думать, что читатель получит из изложения Лебега окончательные, правильдые ответы на все философские и пе- дагогические вопросы, возникающие в связи с измерением величин, теорией действительных чисел, определением длины кривой, площади поверхности и интеграла. Критике философских и педагогических установок Лебега посвящены два следующих параграфа моего преди- словия. Но, во всяком случае, Лебег доставляет читателю богатый ма- териал ‘для того, чтобы самому разобраться во всех этих вопросах.


Кончая обзор конкретного содержания книги Лебега, укажу еще что в ней рассыпано не мало отдельных остроумных замечаний и ори- гинальных способов доказательств (например доказательство незави- симости определения площади от выбора системы координат в 8 29). Поэтому можно думать, что удовольствие от непосредственного обще- ния с таким первоклассным математическим умом, каким является Лебег, с лихвой искупит для достаточно подготовленного читателя некоторую растрепанность изложения, переходящего прихотливым и внезапным образом от непринужденной, пространной болтовни к не- обычайной краткости формулировок. В частности, все формулировки с бесконечно-малыми и пределами, будучи по существу точными, рас- считаны на читателя, который самостоятельно умеет переводить их на ЯЗЫК Е И 5.


Все сказанное делает понятным, что книга Лебега не должна рас- сматриваться как учебное пособие при прохождении какого-либо опре- деленного курса, а является лишь интересным материалом для знаком- ства с идеями одного из замечательных математиков современности и для дальнейших самостоятельных размышлений читателя.


8 обычно бывает, такое отгораживание является лишь своеобразным спо- собом настойчивого проведения и отстаивания вполне определенной философской позиции.


Положительной стороной этой позиции явллется признание Лебе- гом материалистического положения о неразрывности теории и прак- тики, познания и деятельности. Положение это принимается Лебегом как в его историческом аспекте (все развитие математики определяется предъявляемыми к ней требованиями практики), так и в логическом аспекте (математические предложения являются концентратом нашего опыта, относящегося к действительному миру, руководящим нашей дальнейшей практической деягельностью, а не относятся к особому миру идеальных математических сущностей, или не являются продуктом свободного творчества нашего духа).


Отсюда вполне последовательно вытекает у Лебега борьба с услов- ностью математических определений, с теориями, основывающими ма- тематику на „произвольных соглашениях". Ни в какой мере не отрицая законности и важности аксиоматического метода, Лебег прямо заяв- ляет, что он не принимает „свободы определений“, что, по его мнению бывают хорошие и плохие определения. Хорошими, п> Лебегу, явля- ются те определения, которые правильно отражают бельшой запас опыта, относящегося к действительному, материальному миру. Лебег иастаивает при этом, что нельзя продуктивно заниматься математикой, забыв о ее происхождении: анализ первичных данных опыта вновь и вновь оказывается необхолимым для продуктивного направления дальнейших исследований. Особенно интересно у Лебега стремление действительно перестроить формальное изложение математики так, чтобы оно соответствовало естественному развитию реального, при- кладного смысла понятий. Эта тенденция несомненно вполне соединима с полной строгостью формального изложения, не принимающего других допущений, кроме явно формулированных аксиом. Последнее обстоя- тельство недостаточно оттенено в книге Лебега: обобщение данных опыта у него нигде не доводится до построения действительно исчер- пывающей аксиоматики.


Но за всеми этими несомненно материалистическими высказы- ваниями у Лебега стоит скептицизм субъективного идеалиста, каким он все же является. Забывая, что продуктивная практика может быть основана лишь на действительном познании внешнего мира, он заявляет, что для него математика есть только прикладная наука, что она не имеет никакого собственного предмета изучения, а лишь суммирует приемы, при помощи которых мы систематизируем наши наблюдения.


9 таинственной мистической сущностью, интересной лишь для „метафи- зики“, в которой математик совершенно не нуждается. Правильно начиная с того, что понятие числа возникает из операции счета и что числа отражают действительные свойства пересчитываемых групп пред- метов, Лебег уже совершенно неправильно продолжает: „для того чтобы считать, употребляют некоторое собрание слов или фразу (один, два, три, четыре, пять,...); слова этой фразы и называются числами“.


Точно так же действительные числа, в форме бесконечных десятич- ных дробей, возникают, по Лебегу, из операции измерения и являются не чем иным, как символами, которыми мы обозначаем результат изме- рения. Но здесь уже сам Лебег замечает непоследовательность своей точки зрения. Оказывается, несмотря на все усилия, „метафизику“ не удалось изгнать: ‚геомегрическое измерение начинается физически, но заканчивается лишь матафизически“ (855).


4. Основной положительной педагогической ипеей Лебега(не говоря уже о единстве теории и практики) является возможность полного единства преподавания математики на разных ступенях обучения: одни и те же понятия, и в основном в одной и той же форме, сначала вос- принимаются наглядно на примерах, потом формулируются более отчет- ливо и, наконец, подвергаются тонкому логическому анализу.


В применении к действительным числам для такого единого изло- жения наиболее подходит точка зрения бесконечных десятичных дробей. В начальной школе учащиеся знакомятся с операцией измерения, получают из нее конечные десятичные дроби и изучают арифметиче- ские действия над десятичными дробями. На примере периодических дробей, возникающих при делении, уже забрасывается первая идея о том, что число может выражаться также и бесконечной дробью. В сред- ней школе подробнее разбирается вопрос о точности измерений, уста- навливается взаимно однозначное соответствие между точками полу- прямой и бесконечными десятичными дробями, формулируется общее понятие действительного числа, доказывается существование иррацио- нальных чисел, В последнем классе средней школы, или в высшей школе 10 проводится строгое логическое изложение, следующее тем же самым общим линиям 1).


Номинализм Лебега, т. е. нежелание видеть в абстрактных мате- матических понятиях ничего кроме слов, вместе с утрированным прак- тицизмом приводит его, как уже указывалось, к рискованному прел- ложению изгнать из школы простые дроби: если десятичные дроби являются не способом записи чисел, а самими числами, то, конечно, введение простых дробей лишь осложняет дело.


По аналогичным соображениям Лебег совершает и другую важную методологическую ошибку. Ему хорошо известно, что соотношения между длинами, площадями и объемами, которыми интересуются в гео- метрии, не зависят от выбора единиц измерения. Тем не менее он настаивает На том, что геометрические величины суть не что иное, как числа, отнесенные к геометрическим фигурам (глава \]). Лебег не только нв хочет, из соображений „экономии мышления“, рассмотреть геометрические величины сами по себе, до измерения определенной единицей меры, но и не может этого сделать. В самом деле, выделяя (абстрагируя) общее, имеющееся у всех равновеликих между собой плоских фигур, мы получаем понятие площади в чистом виде. Но для того чтобы обозначить различные площади определенными символами, надо выбрать единицу меры. А без отнесения каждому предмету опре- деленного символа сами предметы для Лебега не существуют (так как они и являются для Лебега лишь самыми этими символами).


Получается курьезное положение с самим заглавием книги: книга посвящена измерению величин, действительные числа появляются в ре- зультате измерения величин; в конце же концов оказывается, что сами величины суть не что иное, как отнесенные к известным объектам действительные числа. Концепция главы УТ формально корректна: можно ввести сначала действительные числа, как последовательность десятичных знаков, не упоминая ничего об измерении величин, а после этого определить величины, как это сделано в главе \]. Но это корен- ным образом противоречит задаче, которую поставил себе автор.


1) Для понимания многих мест книги Лебега интересно знать следующее. Французская средняя школа имеет шесть классов. В шес- том (младшем), пятом и четвертом классах заканчивается арифметика (изучаемая в начальной школе); начиная с четвертого класса и до первого (старшего), изучается алгебра; параллельно проходятся гео- метрия и тригонометрия. Желающие поступить в высшие технические школы и на физико-математические факультеты после первого класса проходят еще „класс математики“, программы которого содержат ряд вопросов нашего университетского курса. Окончанию класса матема- тики соответствует степень бакалавра (получается по специальному экзамену). По окончании университета сдаются экзамены на степень лиценциата (Цсепсе).


11 жать их при выбранной единице меры числами, и называть „системой величин“ всякую совокупность объектов, обладающую этими свойст- вами. Но это уже не что иное, как аксиоматический метод, который не должен казаться скомпрометированным своей связью с конвенцио- нализмом (учением об условности математических определений). Дей- ствительно, когда Гильберт в „Основаниях геометрии“ предлагает называть „пространством“ любую совокупность объектов и отношений удовлетворяющую его аксиомам, то вместе с Лебегом следует проте- стовать, если из определения Гильберта делают заключение о произ- вольности выбора объекта изучения в матгматике. Однако то же самое определение Гильберта можно воспринимать совсем противоположным образом. Можно утверждать, что система аксиом, лежащих в основе геометрии, является замечательным, концентрированным выражением результата наших усилий, направленных к познанию действительности. Успех, заключающийся ‘в ее создании, тем более замечателен, что она не только отражает с очень большой точностью свойства окружающего нас пространства при обычной интерпретации ее основных понятий (точек, прямых, плоскостей и т. д.), но также хорошо приспособлена и для выражения совсем других закономерностей внешнего мира, при других ее интерпретациях. Таким образом, абстрактная (аксиоматизи- рованная) геометрия больше связана с действительностью, чем геомет- рия в ее традиционной форме. Аксиоматический метод может и дол- жен являться методом выделения и закрепления для дальнейшего отчетливого изучения тех общих форм (количественных и простран- ственных) действительного мира, изучение которых составляет пред- мет математики с точки зрения диалектического материализма. Тогда естественно будет преодолен разрыв между аксиоматизированной аб- страктной математикой и живым чувством действительности, на котором так настаивает Лебег.


5. Русский перевод снабжен некоторым количеством чертежей (в подлиннике чертежи совершенно отсутствуют). В остальном к тексту Ле- бега присоединено лишь несколько кратких примечаний.


12
Сравнение товаров
Ваша покупка всегда защищена
  • Гарантированная доставка
    или возврат денег
  • Деньги переводятся продавцу
    только после получения товара
  • Возврат в течение 20-ти дней
Как работает защищённая покупка
success_result